13.1. Základy geometrie opakování pojmů
Geometrie je jedna z matematických věd, která se původně zabývala vlastnostmi (tvar a velikost) a vzájemnými vztahy mezi geometrickými útvary (prostorových těles, ploch, bodů, přímek a rovin).
Slovo geometrie je řeckho původu a znamená zeměměřičství. Ve starověkém Egyptě a Babylonii byla totiž geometrie využívána k vyměřování pozemků a stavbě chrámů a pyramid pravidelných tvarů. Pozdější studium geometrických útv, kterým se zabýval např. Thales, vedlo ke vzniku geometrie jako matematického oboru. Geometrie bývá považována za jeden z prvních matematických oborů vůbec.
Základy geometrie jako matematického oboru položil Euklides, který se pokusil zachytit abstraktní strukturu geometrických útvarů pomocí definic a axiomů. Podařilo se mu tak založit geometrii, kterou označujeme jako euklidovskou geometrii. Euklidovu geometrii dělíme na rovinnou a prostorovou.
Později zavedl Descartes do geometrie souřadnice, čímž položil základy analytické geometrie. Analytická geometrie umožňuje vyjadřovat geometrické útvary prostřednictvím rovnic, tzn. geometrické problémy je možné řešit algebraickými metodami.
Dalším krokem bylo využití metod diferenciálního počtu k popisu geometrických útvarů. Tento přístup vedl ke vzniku diferenciální geometrie.
Přestože je geometrie nejstarší oblastí matematiky, dodnes se vyvíjí. V modernějším pojetí se geometrie zabývá vlastnostmi prostoru, různými algebraickými strukturami na topologických objektech (typicky na varietách).
Geometrické útvary
Geometrické útvary lze dělit podle různých vlastností:
Základní geometrické útvary (bod, přímka, rovina, prostor)
Lineární geometrické útvary (přímka, polopřímka, úsečka)
Rovinné geometrické útvary – obrazce (polorovina, mnohoúhelníky, kružnice, kruh, kuželosečky, křivky a útvary vymezené křivkami
Prostorové geometrické útvary – tělesa (hranoly (např. krychle, kvádr), válec, jehlan, kužel, koule, …)
Vzájemné polohy geometrických útvarů
Vzájemná poloha dvou bodů (vzdálenost)
Vzájemná poloha bodu a přímky
Vzájemná poloha bodu a kružnice
Vzájemná poloha dvou přímek (rovnoběžky, různoběžky, mimoběžky, …)
Vzájemná poloha dvou kružnic (vnější dotyk, vnitřní dotyk, …)
Vzájemná poloha přímky a kružnice (tečna, sečna, …)
Vzájemná poloha dvou rovin
Základními mírami v geometrii jsou
Délka (délka úsečky, vzdálenost útvarů …)
Obvod obrazce (obvod trojúhelníku, čtverce, kruhu, …)
Velikost úhlu, rovinný úhel a prostorový úhel
Obsah obrazce (obsah trojúhelníku, čtverce, kruhu, …)
Povrch tělesa (povrch krychle, válce, koule, …)
Objem tělesa (objem krychle, válce, koule, …)
Geometrická zobrazení
Shodná zobrazení (souměrnosti, posunutí, …)
Podobná zobrazení (stejnolehlost, …)